Математические софизмы

Утверждение ложное

Почему?

Потому что она всегда остается ломаной.
А длина ломаной никогда не равняется длине прямой.

Как мне объяснял один препод: результат этих рассуждений заключается не в равенстве длин, а в равенстве количества точек.
Но сейчас я сам думаю, что ломаная в прямую перейти не может. Ведь на каждом шаге у нас остаётся множество точек, не принадлежащих прямой, и это множество имеет мощность континуума, т.е. именно оно является носителем метрических свойств нашей ломаной.

Элементарной математикой можно показать следующее:
1) рассмотрим угол у основания равнобедренного треугольника. Пусть он равен а;
2) пусть длина стороны равна Х;
3) тогда длина основания всегда равна 2*Х*cosa (можете проверить это сами - при любом количестве делений треугольника получим что основание всегда равно 2*Х*cosa)
Это показывает очень сильную сомнительность вывода, предложенного в исходной задаче. И дает надежды на строгое доказательство.

Далее рассмотрим множества точек, составляющих основание и сумму сторон треугольников:
1) очевидно, что множество точек суммы сторон треугольников заведомо мощнее множества точек основания в (1/cosa) раз, хотя (безусловно) оба множества обладают мощностью континуума.
Таким образом получаем, что предельный переход солгал нам: мощности множеств рзличны, а длина линий получаются одинаковыми. Вопрос задачи теперь сводится к следующему: справедливо ли здесь применение предельного перехода? Думаю, что нет. Смотрите сами:
Если исходный треугольник (АВС) не делить, получим, что сумма длин его боковых сторон равна 2*Х
Если поделить его, получим, что длина одной боковой стороны треугольника А(В1)(Х1) составляет Х/2, количество таких сторон стало равным 4.
Делим далее, и для n случаев деления получаем, что длина боковой стороны равна (Х/2^n), количество же таких сторон равно 2^(n+1).
Теперь САМОЕ ИНТЕРЕСНОЕ:
ошибка автора состоит в том, что он берет предел lim (Х/2^n)*2^(n+1) по переменной n (она стремится к бесконечности).
Однако поступать так здесь нельзя: выражение необходимо упростить, и мы получим, что он равно 2*Х. А здесь предел брать по переменной уже нельзя: нет ни функции, ни последовательности. Есть константа, и на этот случай теория предела в общем смысле неприменима. Поэтому предельный переход по переменной n здесь принципиально невозможен. Следовательно, first прав. А софизм действительно интересный. Наверное, парадоксом его назвать нельзя, потому что все сводится к ошибке операции.

с этим мы разобрались...

Думаю, что это один из вариантов, но вариант нестрогий. скорее всего, рассуждать надо именно из теории предельного перехода.

Так, так:) давайте-ка теперь вот этот разберём

Неохота писать...
Но доказательство основано на известном свойстве треугольника, что отрезки отсекаемые биссектрисой на стороне относятся как две другие стороны. ИМХО

Где на рисунке серединный перпендикуляр к стороне АС? И каким образом он участвует в рассуждении.

Биссектриса угла В и серединный перпендикуляр к АС совпадают в равнобедренном треугольнике.

Позволю справку: мощность множества в анализе - аналогичное количеству элементов понятие, определяемое абстрактно. Мощности двух множеств равны тогда и только тогда, когда между ними можно задать взаимно однозначное соответствие (смотрите матан Садовничего или других авторов). Пояснения, я думаю, после этого излишни.
Таким образом, коль скоро вы говорите, что на ломаной существует множество точек (каждое из которых имеет все ту же мощность континуума), не принадлежащее прямой, эти множества неравномощны. Однако они оба имеют мощность континуума.
Предел от константы брать можно, с этим спорить нет смысла. Пределом будет эта же константа. НО: применение предельного перехода здесь не дает абсолютно никаких результатов. Мы можем взять предел от константы на случай, когда исходный треугольник поделили один раз. потом два, потом n, но результат останется прежним. совершенно понятно, что в данном случае мы берем предел не по переменной, стремящейся в бесконечности, а по константе. Поэтому условие предельного перехода, редложенное Вами в задаче, неверно.

Признаю, согрешил.
Еще подумал над этим софизмом:
если длину боковой стороны треугольника, полученного при n-ом делении исходного обозначим за a(n), то сумма длин боковых сторон (то есть рассматриваемая ломаная) при делении исходного треугольника на n будет равна 2*а(n)*n. Далее, половина основания треугольника, полученного при делении исходного на n пусть будет b(n), тогда длина основания исходного треугольника равна 2*b(n)*n.
Теперь мы можем перейти к рассмотрению случая, когда n->oo (это бесконечность такая ), само собою при этом а и b стремятся к нулю:
2*lim a(n)*n [n->oo, a->0]
--------------------------------
2*lim b(n)*n [n->oo, b->0]

Сами пределы мы не посчитаем, однако их отношение всегда равно 1/cosA - угла, лежащего при основании равобедренного треугольника. Отсюда делаем вывод, что даже при переходе к пределу по бесконечности мы не имеем равенства указанных длин.
Что думаете?

Точка О не только лежит вне треугольника (это утверждение я вроде бы доказал), но она еще и расположена так, что если опускать из нее перпендикуляры OD и OE, то одна из точек D или E будет лежать на стороне треугольника, а другая - на продолжении стороны (а вот с этим уже сложнее).
В таком случае предложенные равенства углов к результату не приведут.

Да, точка лежит на описанной окружности треугольника. И есть теорема, которая говорит, что основания перпендикуляров из точки на описанной окружности трекгольника на стороны треугольника лежат на одной прямой (прямая Симсона).

Ф.

Бесконечность это не число. Переход от первого ко второму утверждению похоже на утверждение tg(pi/2)=oo. Или я не прав?

Это сообщение отредактировал Kaaakka - 21-10-2006 - 03:46

Мое решение таково: вероятность появления конкретного числа - не нуль, а бесконечно малая величина.

Хороший софизм!
Итак, перемещение каждой точки складывается из движения по окружности и параллельного переноса на вектор CD=AB. После совершения полного оборота точка возвращается туда откуда пришла. Таким образом радиус окружности абсолютно не влияет на длину перемещения.
Парадокс сводится к тому, что в любой окружности, независимо от радиуса одинаковое количество точек.
Тут, правда, возникает вопрос с центром...

Честно говоря, моего образования не хватило, чтобы понять эту фразу.

Безусловно должны соблюдаться. Если не секрет какие? И о чем вообще речь?

Ф.