Математика как наука

жутко стыдно за свою невнимательность... может я пропустил где про это рассказывалось, но...

а что такое "программа Гильберта?"

Вот здесь посмотри:
http://burevestnik.net/philo/2006/04/20/gilbert1901/

Это уже давно не так. Заявляю это с полной ответственностью, как человек, занимающийся чистой математикой. Это только в философии математики так считается. Сам знаю, сдавал кандидатский минимум.

Могу сказать так. Каждый математик занимается своей областью и знает зачем он это делает. Его чаще всего не очень-то волнует как ко всему этому относится философия. А философы пытаются ответить на такие вопросы как "зачем?" не обладая при этом практически никакими знания о реальном состоянии дел в математике. Теорема Гёделя это цветочки с теми проблемами, которые в данный момент существуют в формальной математике. И об этой теореме никто не задумывается. Если о ней думать, то можно свихнуться. Ибо из нее следует, что заранее нельзя узнать доказуем факт или нет. Математики об этом не думают! Математики просто занимаются интересным для них делом и радуются, когда оказывается, что то что они делают кому-то пригодилось (пусть даже другому математику). Радует все же, что огромное количество математических результатов находят применение в новых науках, таких как сложность вычислений, теория алгоритмов и т. д. Не будь математики вы бы сейчас не сидели за компьютером и не читали этот пост. Конечно, человечество и без компов жило не плохо...

А основная проблема современной математики состоит в проверке полученных результатов. Если доказательство серьёзной теоремы излагается менее чем на 500 страницах --- это удача. Не очень-то много математиков разбираются при этом в теме на столько, чтобы проверить это доказательство. Но те, кто не разбираются верят на слово тем, кто разбирается. Почему? Да потому, что им эти результаты никогда не пригодятся, а тем кому пригодятся все равно придется разбираться в доказательстве.

Вот. Я не голосовал. Как-то не смог выбрать ответ.

Советую прекрасную книгу (художетсвенную). Апостолос Доксиадис "Проблема Гольдбаха". Книга об одном математике. Очень граматно написана (Лучше чем Код Да Винчи :))). Там показаны некоторые проблемы математики, как таковой.

Ф.

Какая глупость!

Ф.

Кажется, автору статьи нечем заняться. Он подменяет вопрос о математических понятиях, вопросом о физических понятиях. В математических понятия, действительно, не всегда есть ясность и над этой неяностью математики работают. Например, теории банаховых пространств уже давно назрела необходимость нового понятия, типа топологической размерности, чтобы пространства можно было отличать друг от друга. Так этим упорно занимаются. Что касается физических понятий, типа волна и диффузия, то любое математическое определение будет лишь модельным и описывать свойства физического объекта, величины лишь приближённо. Так обстоит дело со всеми физическими понятиями: не так ли? Исключения, быть может, составляет квантовая механика, так это ведь раздел математики... по крайней мере до тех пор, пока из него не пытаются сделать физические выводы. А как только пытаются, сразу встает вопрос, а причем это тут спектр оператора. Энергия? А что такое энергия? Где же это математическое определение энергии? А вот это оно и есть: спектр оператора!

То же самое с доказательствами. Математические курсы всегда отличаются строгостью изложенного материала. И там слово "доказательство" -- не пустой звук. Менее строгими являются курсы физики. И это объяснимо, поскольку физические теоремы лишь пытаются описать происходящее вокруг, принимая некоторые вещи, как само собой разумеющееся. Это физики придумывают определения для понятий физики, чтобы они были достаточно строгими и ими можно было пользоваться в доказательствах. Естественно с течением времени определения физических понятий будет трансформироваться. Это не определение производной, которое как есть так и есть и может лишь обретать новую форму, благодаря появляющейся новой терминологии.

Ну еще он там пишет о мельчании математической общественности, видимо, имея ввиду себя...

Все это мне напомнило случай со знакомым моего научного руководителя на кандидатском экзамене по философии: его преподаватель спросил, все ли математические понятия имеют хотя бы отдаленное отношение к нашему реальному миру. Тот задумался (он был с кафедры геометрии и начал думать о разнообразных кокасательных расслоениях, да о когомологиях де Рама) и в результате ответил, что с всё же видимо все понятия имеют некоторое отражение в реальной жизни. "Ну, как же!" -- сказал профессор, -- "А комплексные числа? Они же МНИМЫЕ!"

Ф.

Это сообщение отредактировал Ted_dy - 30-05-2006 - 13:20

Вот действительно позиция большинства практических математиков! Но мы здесь обсуждаем именно философию математики а не собственно внутренние проблемы математики! Кстати, какие именно проблемы формальной математики Вы считаете актуальны сегодня? Хтоелось бы по подробнее в этом месте(просто интересно..)

Это довольно странный аргумент. Такая же пропасть между термодинамикой и электродинамикой. Вас это не смущает? Это разделы физики и к ним применимы одинаковые рассуждения, как к разделам физики. И уверяю вас, что большинство исследований и открытий лежат как раз на границе областей. По крайней мере в данный момент.

Ф.

Это значит, что они не достаточно квалифицированы. Уже достатоно эффективных алгоритмов поиска собственных чисел матриц. Их знает любой студент, сдающий курс методов вычислений. Если же цель стоит в оптимизации алгоритмов в актуальных алгебраических задачах, то человек, занимающийся этим безусловно разбирается в алгебре и в необходимых обозначениях. Конечно, он не разбирается во ВСЕЙ алгебре, но обладающего такими качествами алгебраиста тоже найти невозможно.

Приведу пример. В меру своей осведомленности. Наскольку я знаю, доказательство гипотезы четырех красок на данный момент состоит в математическом доказательстве, которое проходит лишь для графов с достаточно большим количеством вершин, и в компьютерном переборе оставшихся графов. Думаю, что в требуемой нотации и терминологии разбираются и те кто сокращают перебор математическими методами и те, кто ищут наиболее эффективные алгоритмы.

Ф.

Математика и формальность и реальность и мысль не бытия
потому что кроме логики видимой есть логика не видимая, но кроме того есть логика не бытия в существующем и не существующем.
Кроме всего прочего есть, то чем занимается математика не сама по себе, а потому что она есть в сути вещей.

Вы меня пытались напугать готическими буквами или длинными формулами. Так у меня в любой статье и не такое написано. Такое есть даже в ставшей классической книжке Ван дер Вардена "Алгебра". И этим математика не удивишь.

А я говорил, что поиск собственных чисел уже давно неактуальная проблема для вычислительной математики.

Ф.