Задача: с помощью ряда Тейлора вычислить корень:
Для этого нужно разложить функцию
в ряд по степеням (х-27), так как 27 ближайшее к 30 число, для которого известен корень третьей степени.Таким образом искомый ряд Тейлора имеет вид:
где х=30.
Я все правильно делаю?
И еще вопрос: в окрестности какой точки следует раскладывать ряд Тейлора, если необходимо вычислить квадратный корень из числа e? Не будет ли четверка в этом смысле слишком грубой оценкой?
Офигеть.. матан 1 курс...
Делаешь ты всё правильно.
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+...+f^n(a)/n!*(x-a)^n+f^(n+1)(s)/(n+1)!*(x-a)^(n+1)
где s - точка, лежащая между a и x.
Последний член можно использовать для расчёта погрешности.
Ф.
Если прикинуть в уме, то он сходится. Щас на бумажке посмотрю...
| QUOTE (Ted_dy @ 17.10.2006 - время: 01:55) |
| С центром в 27 нельзя!!! Радиус сходимости этого ряда равен 1! Поэтому ряд сходится не будет! Ф. |
Откуда?
Во первых, у меня вопрос. Этот ряд считать знакопеременным или знакопостоянным? У него первые два члена положительные, все остальные - отрицательные.
Если рассмотреть этот остаток, то по признаку Деламбера для знакопостоянных рядов он будет сходится (предел отношения последующего члена к предыдущему равен нулю).
Если рассмотреть ряд как знакопеременный, то ряд, состоящий из модулей также будет сходицца по тому же признаку Деламбера...
Хорошо. Рассказываю.
(1+x)^p=1+px+p(p-1)/2 x^2 +...
Общий член выглядит так: p(p-1)(p-2)...(p-k+1)/k! x^k. Это степенной ряд. Сходится он при |x|<1. (Радиус сходимости вычисляется, как предел отношения модулей соседних коэффициентов). В нашем случае
x^{1/3}=(27+(x-27))^{1/3}=3(1+y)^{1/3}, где y=(x-27)/27. Так и получится разложение по степеням (x-27). Оно, конечно, совпадает с вашим :) но его коэффициенты явно выписываются. Ну и надо, чтобы |y|<1. Поэтому для x=30. Все в порядке. А я тупой... забыл на 27 поделить.
Теперь про признак Дламбера. Именно он лежит в основе понятия радиуса сходимости. Внутри области сходимости (|x|<1) сходимость будет абсолютная. Проблемы обычно в концах промежутка.
Ф.
Четверка, может и грубая, но почему останавливаться на целых числах?
Возьми, например, 2.56 (1.6 в квадрате)...
| QUOTE (guesst @ 20.10.2006 - время: 10:42) |
| Четверка, может и грубая, но почему останавливаться на целых числах? Возьми, например, 2.56 (1.6 в квадрате)... |
Точно, спасибо. Говорю же, завис (
)